"TIC´s aplicadas a las MATEMÁTICAS y TECNOLOGÍA": PH, decibelios y funciones logarítmicas

¿Has oído hablar del PH del agua? ¿Y de los decibelios? Tanto PH y decibelios se mencionan a menudo en los medios de comunicación. La acidez del agua de lluvia y de los ríos y lagos tiene un gran impacto medioambiental, y la exposición a un nivel excesivo de ruido puede tener consecuencias negativas en la salud. En este post, vamos a ver que tanto para expresar el nivel de acidez de una sustancia como para indicar un determinado nivel de ruido se utilizan magnitudes que vienen dadas por las llamadas funciones logarítmicas.

Pero en primer lugar vamos a recordar la definición de logaritmo y sus propiedades:

Llamamos función logarítimica a la función f(x)=log_ax, que asocia a cada número real positivo x, el valor de su logaritmo en base a, log_ax.

Vamos a ver dos ejemplos:

Para a>1, vamos a representar y=log x

Para a<1, podemos representar y=log _0.1 x, que por las propiedades de cambio de base de los logaritmos:

Es decir, sería y=-log x

Otro ejemplo de función logarítmica sería la función f(x)= ln x, que asocia a cada número real positivo x el valor de su logaritmo neperiano, ln x.

¿Cuál sería entonces la relación entre la función logarítmica f(x)=lnx, y la función exponencial g(x)=e^x, que ya vimos en un post anterior?

Su composición sería f(g(x))=f(e^x)=ln(e^x), es decir, según la definición de ambas funciones: f(g(x))=f(e^x)=ln(e^x)= x. Por lo tanto, se dice que estas funciones son recíprocas porque se verifica que f◦g=g◦f=i, siendo i la función identidad.

Si las representamos en el mismo par de ejes, sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante:

Lo mismo ocurriría con y=10^x e y=log x:

Y por último, ¿qué tienen que ver las funciones logarítmicas con el pH y los decibelios ?
Pues, tal y como comentábamos en la introducción:

Decibelios (dB)

El decibelio (dB) es la unidad de medida utilizada para el nivel de potencia y el nivel de intensidad del ruido. Se utiliza una escala logarítmica porque la sensibilidad que presenta el oído humano a las variaciones de intensidad sonora sigue una escala aproximadamente logarítmica. Así, se define para el cálculo de la sensación recibida por un oyente, un nivel de potencia L_W, en decibelios, y se relacionará la potencia de la fuente del sonido a estudiar (W₁) con la potencia de una fuente de referencia (W₀) cuyo sonido es el umbral de audición en el aire (igual a 10 ^{− 12} vatios):

El pH ("potencial de hidrógeno", del latín pondus Hydrogenii o potentia Hydrogenii) es una medida de la acidez o alcalinidad de una solución que indica la concentración de iones hidronio [H₃O⁺] presentes en determinadas sustancias, y fue definido por el químico danés Sørensen como el logaritmo negativo de base 10 de la actividad de los iones hidrógeno. Es decir:

En disoluciones diluidas, en lugar de utilizar la actividad del ion hidrógeno, se le puede aproximar empleando la concentración molar del ion hidrógeno.

Como ves, esta notación por medio de logaritmos resulta muy cómoda para evitar el manejo de cifras muy largas. Así, por ejemplo, una concentración de iones hidrógeno de 1 × 10^–7 M (0,0000001) es simplemente un pH de 7 ya que pH = –log[10^–7] = 7

El agua pura tiene un valor de pH de 7, y la lluvia limpia normal tiene un valor de pH de entre 5.0 y 5.5, nivel levemente ácido. Pero, ¿qué significa entonces que el pH del agua disminuye de 5 a 4?

¡Que la acidez es 10 veces mayor! Te invitamos a ver este vídeo donde se explica lo que ocurre entonces: