Música y relaciones matemáticas

¿No sabes para qué sirve estudiar matemáticas? ¿Te gusta la música?¿Se te ha ocurrido pensar alguna vez en la relación que hay entre ambas?

En este post te vamos a contar como ya Pitágoras se dio cuenta de esta relación, como hoy podemos establecer proporciones entre las notas de diferentes octavas o qué determina si una combinación determinada de notas nos resulta armoniosa o no.

Una de las aplicaciones más antiguas que se conocen de las matemáticas está en la música y se le atribuye a Pitágoras, el matemático Griego conocido por su famoso teorema de los triángulos rectángulos.

Según cuenta la leyenda, Pitágoras pasaba al lado de un herrero, y escuchó los sonidos de los martillos al golpear el yunque. Entonces se dio cuenta de que todos, excepto uno de los martillos, sonaban en armonía. Llevado por la curiosidad por conocer la razón de ello, Pitágoras examinó los martillos y descubrió que cuando sus masas estaban relacionadas en proporciones simples, es decir, en forma 2:1 o 4:1, entonces las notas respectivas sonaban armónicamente. En cambio, la masa del martillo que sonaba discordante, no estaba en proporción simple con ninguno de los otros martillos.

Aunque la certeza absoluta de esta leyenda es cuestionable, ilustra la primera aplicación real de las matemáticas en la música.

Veamos como descubre esto mismo Donald en el País de las Matemáticas...

Frecuencia

Las armonías de las que hablaba Pitágoras eran sin duda, las octavas, es decir, la misma nota repetida en un tono más alto.

Hoy ese modelo se puede observar en las frecuencias de varias notas musicales. La nota que los músicos llaman do central tiene una frecuencia de 262 Hz. El do, una octava por encima del do central, tiene una frecuencia de 524 Hz, en relación 2:1. De hecho, todos los do’s están sucesivamente al doble o mitad de la frecuencia del do central.

Este modelo se sigue para cualquier intervalo de octavas, con independencia del intervalo que se elija. Es decir, la relación de las frecuencias de dos sol a una distancia de una octava es 2:1. Esto nos lleva a una conveniente manera matemática de escribir la frecuencia de cualquier nota musical usando la siguiente tabla:

Por ejemplo, todos los do pueden escribirse como 262x2ⁿ donde n es un entero.

Diseño de instrumentos

Las matemáticas también juegan un papel importante en la construcción de los instrumentos musicales. En una flauta o flauta dulce, por ejemplo, los agujeros deben estar colocados en la posición exacta para que produzcan las notas correctas al tono adecuado. Del mismo modo, los trastes en una guitarra deben estar ubicados con precisión a fin de que todas las notas estén afinadas dondequiera que se toque a lo largo del mástil de la guitarra.

Por esta razón, las formas y diseños de la mayoría de los instrumentos han cambiado muy poco a lo largo de los últimos siglos, y ahora se hacen con especificaciones altamente precisas. El tono de un instrumento también depende de sus dimensiones. Una guitarra grande con un cuerpo profundo tiene un sonido más pleno que un instrumento con menor profundidad.

Los materiales que se utilicen en su fabricación también tendrán su efecto en el tono del instrumento, ya que cada material tiene su propia frecuencia natural de resonancia que podría causar que el instrumento reforzase armónicos importantes o que zumbara desagradablemente.

Superposición

Los instrumentos se diseñan para reforzar ciertos armónicos vitales para su tono. Por esta razón, un violín suena totalmente diferente a un piano y es relativamente sencillo identificar la contribución de cada instrumento a una pieza orquestal incluso cuando todos tocan la misma nota. Esto es posible porque las ondas sonoras producidas por los instrumentos son muy diferentes.

Las ondas sonoras se crean a partir de la suma de las ondas armónicas propias de cada instrumento, lo que se conoce como superposición.

En este vídeo se explica cómo se producen estos armónicos en el violín y como verás, los armónicos son parte de lo que le dará su timbre único:

Armonía

La superposición nos proporciona una explicación para el fenómeno de la armonía. Por alguna razón, ciertas notas al tocarse juntas crean un sonido agradable, mientras que otras combinaciones no suenan bien. Por ejemplo, el par do-sol es un ejemplo de buena armonía, mientras que mi-fa# no produce el mismo efecto.

Para producir la onda sonora armónica, se suman las ondas de las notas individuales. Cuando los científicos han analizado las dos ondas armónicas han visto que la del par do-sol tiene un patrón repetido más regularmente que el del par mi-fa#, y parece ser que esta es la razón por la que el primer par produce una mayor armonía que el segundo par. Cuanto más simple es la relación entre las longitudes de onda (y por tanto las frecuencias) de las notas individuales, más regular y repetida es la onda combinada, y por tanto, una vez más, el factor importante parece ser la relación entre las frecuencias.

Como ves, las matemáticas no son sólo números, sino que también las encontramos continuamente a nuestro alrededor, entre otros, en la música que tanto nos gusta... ¡Espero te haya gustado!