Funciones exponenciales

La semana pasada hablábamos de funciones lineales y afines, pero hay multitud de procesos naturales, como el crecimiento de poblaciones de microorganismos, que no obedecen a crecimientos proporcionales, sino que vienen definidos por funciones exponenciales. Vamos a ver en este post, qué entendemos por este tipo de funciones y cuáles son sus características.

La gráfica f de la figura anterior viene dada por f(x)=2^x y la gráfica g por g(x)=(1/2)^x.
A este tipo de funciones de la forma y=a^x, donde a es un número real positivo distinto de 1, se denominan funciones exponenciales.

Su dominio es toda la recta real, y su recorrido, los números reales positivos. Estas funciones son continuas en todo su dominio.

Vamos a ver otras características de las funciones exponenciales con la siguiente actividad.

Tipos de funciones exponenciales
y=e^x y y=e^-x
Un tipo particular de funciones exponenciales son las funciones y=e^x y y=e^-x:

Se ha observado, por ejemplo, que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley exponencial decreciente. Es decir, si N₀ es el número de núcleos radiactivos en el instante inicial, después de un cierto tiempo t, el número de núcleos radiactivos presentes N se ha reducido a:

siendo λ una característica de la sustancia radiactiva denominada constante de desintegración.
Una de las formas de medir la rapidez de desintegración de una sustancia radiactiva es mediante el periodo de semidesintegración, que es el tiempo en el que la cantidad de sustancia radiactiva se reduce a la mitad por haberse desintegrado la otra mitad. Así, cuando la sustancia radiactiva se haya reducido a la mitad, tendremos:

Es decir, el periodo de semidesintegración vendrá dado por:

Y por tanto, este periodo no depende de la cantidad inicial de sustancia radiactiva.

y=10^x

Las funciones del tipo y=10^x es otro tipo de función exponencial, que se utiliza para medir magnitudes que tienen un rango de variación muy grande, como la energía liberada por un terremoto:

Si la energía liberada por un terremoto, medida en kilovatios-hora, sigue la función:
E(x)=0.02•10^1.5x, donde x es la magnitud del seísmo. ¿Cuánta energía más va a liberar un terremoto de magnitud 8 frente a uno de magnitud 4?

¡La energía liberada no será el doble, sino 1 000 000 veces mayor!

Como has visto, las funciones y=10^x e y=e^x, son exponenciales que describen multitud de procesos naturales. Su dominio es R, y su recorrido, R+. Ambas son continuas y crecientes en todo el dominio.

Espero te haya resultado de interés, ¡seguiremos hablando de otro tipo de funciones!


Referencias:
Donaire, J.J., Fernández, V., Lomas, P. (2008). Matemáticas Opción B 4ºESO Esfera. Madrid: Ediciones SM.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/desintegracion/radio.htm
En la realización de las gráficas se ha utilizado el programa Geogebra.