La Esfera: Área y Volumen

El mundo que nos rodea está repleto de esferas: balones, pelotas, en la arquitectura, lupas, gafas... ¡Hasta vivimos en una esfera! ¿Pero sabrias demostrarme como se halla el volumen y la superficie de una esfera? ¿Quién fue el primero que lo descubrio? Si sigues leyendo lo descubrirás...

Lo primero es definir que es una esfera. Pues según el diccionario la es esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de uno interior llamado centro de la esfera.

La esfera se genera haciendo girar una semicírculo alrededor de un diámetro y la superficie esférica al girar una semicircunferencia alrededor de un diámetro.
Así que también podemos decir que la esfera es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica. Para que te hagas una idea, es como una naranja, la superficie esférica sería la cáscara y la esfera los gajos de la naranja.

La esfera tiene varios elementos que es importante conocer:

• Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera.
• Radio: Distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera.
• Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie esférica.
• Diámetro: Cuerda que pasa por el centro. El diámetro es dos veces el radio.
• Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.
  

Para calcular la superficie del resto de poliedros y cuerpos de revolución que hemos visto hasta ahora lo que hacíamos era hacer su desarrollo plano y a partir de él obtener la superficie, pero con la esfera tenemos un problema...¡No podemos desarrollarla sobre el plano más que por una aproximación! ¿Entonces cómo podemos calcualr su superficie? ¿Y su volumen? ¿Se te ocurre alguna idea?

Vamos a imaginar una esfera envuelta por un cilindro que se ajusta por completo a ella. Es decir, nos imaginamos un cilindro de radio R y altura 2R

Pues bien, ¡el área de la esfera es igual que el área lateral de ese cilindro!

A _ESFERA=A _{LATERAL DEL CILINDRO}=2πR·2R=4πR²

Ahora vamos a imaginarnos que llenamos el espacio que no está ocupado en el cinlindro con agua... Si sacamos la esfera y nos fijamos en la cantidad de agua que hay, veremos que sólo ocupa la tercera parte del cilindro.. Es decir, ¡la esfera sólo ocupa las dos terceras partes del volumen del cilindro que la contiene!

V _ESFERA=2/3 V _CILINDRO=2/3·πR²·2R=4/3 πR³

Esta relación entre la esfera y el cilindro que la envuelve es muy interesante, porque nos permite calcular también de forma sencilla porciones de la esfera limitadas por planos paralelos.

Pues esto que ahora nos parece tan fácil fue el descubrimiento matemático más importante de Arquímedes, hasta tal punto que una esfera y un cilindro fueron colocados encima de su tumba cumpliendo su voluntad.

Por si en algún momento quieres repasar lo que hemos visto aquí tienes unos apuntes



Y ahora a practicar un poco lo aprendido